Chapter 28 电势能和电势¶

Electric Potential Energy 电势能¶

符号 $U$ ，是一个能量单位 $U_b-U_a=-W_{ab}$ （是跟电荷量多少有关的）

$U_b-U_a=-\int_a^bF\cdot dl=-q\int_a^bE\cdot dl$

负号是因为顺着电场线方向，电势能减小，电场线是从高电势指向低电势的。

也有 $W_{ab}=\int_a^bF\cdot dl=q\int_a^bE \cdot dl$

两个点电荷之间的结合能 $U(r)$¶

当 $q_2$ 从 $a$ 移动向 $b$ 时，电势能的变化量为

$U_b-U_a=-\int_a^b F\cdot dl=-\int_a^b \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}dr=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r_b}-\frac1{r_a})$ 当我们选择 $r_a=\infty,U_\infty=0,r=r_b$ ，有 $U(r)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$ 。

若正，则为 attractive force ，若负则为 repulsive force 。

一个系统的点电荷的电势能¶

如果以无穷远为 $0$ 势能点（我们上面那个公式是这么推的），你势能是个标量，所以你是可以通过叠加求出这个点的电势能（如，计算 $A,B$ 两个点电荷在 $C$ 处产生的电势能，原本是要用无穷远处的零势能加上从此到 $C$ 一路上电场关于距离的积分，相当于 $\int (E_A(r)+E_B(r))dr$ 但是这玩意显然是可以拆开来的，$B$ 对 $C$ 的贡献在直线 BC 上算，$A$ 对 $C$ 在 AC 上算， $\int E_A(r)dr+\int E_B(r)dr$ ，一个积分号拆成两个。你发现如果统一用到 $C$ 距离和 $A,B$ 在距 $C$ 某处的合场强只有 $A,B,C$ 三点共线好算）。

所以 $U=U_{12}+U_{13}+\cdots+U_{1n}+U_{23}+\cdots+U_{n-1,n}=\sum_{i\ne j}\frac{1}{2}U_{ij}\\ =\sum_{i\ne j}\frac12\frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0r_{ij}}$

静电场(electrostatic field)环路(circuit)定律¶

$\oint E\cdot dl=0$ 简单来说就这个式子，即 $\nabla \times E=0$ 其中 $\nabla$ 为旋度算符。

静电场沿闭合环路的环量恒为 $0$ （相当于转一圈电场不做功，环路外的电荷产生的电场线进来多少出去多少，环路内的法线方向不做功，切线方向首尾相接，感性理解）

有别于高斯定理，高斯定理是面积分（因此是 $E\cdot ds$ ，不能拿 $E\cdot dr$ 产生电势差来看）， $\oiint E \cdot dA=\frac{q}{\epsilon_0}=\iiint\frac{\rho}{\epsilon_0}dv$ ，$\rho$ 为体电荷密度，即 $\nabla \cdot E=\frac\rho{\epsilon_0}$ 。

高斯定理 $\oiint E \cdot dA=\frac{q}{\epsilon_0}=\iiint\frac{\rho}{\epsilon_0}dv$ ，表明一个闭合曲面面上的电场强度与外部电荷无关，只跟里面圈起来的电荷量相关。

Electric Potential (电势)¶

符号 $V$ ，为 $V=\frac U{q_0}=\frac q{4\pi\epsilon_0 r}$ 。

这就好办了，计算多个点在同一点所造成的电势差，那就是所有点单独在这里产生的贡献的累加（$V_1+V_2+\cdots$）。这里还是无限远处零势能。这一定比你合电场然后积分算的快。

$V_b-V_a=-\int_a^bE\cdot dl$

均匀场强下，就是 $EL=E(b-a)$

如果无限远处零势能

$V_p-V_\infty=V_p=-\int_\infty^p E\cdot dl=\int_p^\infty E\cdot dl$

再来看看这个式子 $V=\frac U{q_0}=\frac q{4\pi\epsilon_0 r}$ 对于单一个点电荷，以其圆心，同一圆上的电势相同。

Electric Dipole 电偶极子¶

电偶极子就是两点距离位 $2a$ ，分别带 $+q,-q$ 的一对电子。然后我们时常有标记 $p=2aq$ 来简化表示某些计算。

这里 $V(r)=\frac1{4\pi\epsilon_0}(\frac q{r_1}-\frac q{r_2})=\frac q{4\pi\epsilon_0}\frac{r_2-r_1}{r_1r_2}$ 当 $r>>a$ ，就会有（黄色那条线）$r_2-r_1=2a\cos\theta$ 。

Electric quadrupole 电四偶极矩¶

均匀电荷球壳电场电势与电势能¶

根据高斯定律，内部无电场（因为框住一个球里面没电荷）。然后对于 $r\ge R$ ，那么就是 $E=q/(\epsilon_0 S)=q/(4\pi\epsilon_0r^2)$

可以发现在球壳外部电势计算方式等效于点电荷。

但是电势能不一样。 $U=\sum_{i<j}q_i\frac{q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}}\\ =\frac12\sum_i q_i\sum_j\frac{q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}}\\=\frac12\sum_i q_iV_i=\frac12\int Vdq\\=\frac12\frac q{4\pi\epsilon_0R}q=\frac {q^2}{8\pi\epsilon_0R}$ 原因是系统的电势能的定义是算了 $i$ 对 $j$ 的电势能就不用统计 $j$ 对 $i$ 的了。在单独计算 $i$ 对 $j$ 的电势能直接算和用电势乘 $q$ 是没问题的，但是算系统的时候会有个 $1/2$ 的差别。

由此可以估算电子半径。