Chapter 31 Steady Current 恒定电流¶

电流强度和电流密度矢量¶

电荷的携带者叫载流子，金属的载流子是电子，半导体可以是电子和空穴（电子带负电，空穴带正电），这些载流子形成的电流叫传导电流。

电流 $I=\frac{dq}{dt}$ ，定义为单位时间通过导体截面的电荷量。历史原因，正电荷方向为电流方向，单位安培 $A$ ，是标量，且为国际单位制中的基本量。

会发现无法看出单位截面面积中的电流，所以有电流密度矢量 $di=jdA\\ i=\iint_AjdA=\iint_A j\cos \theta dA\\ j=\frac{dI}{dS_{\perp}}$ 由于公式书写麻烦，所以自行区分标量和矢量。

欧姆定律¶

电阻和电导

$R=\frac{dV}{dI}$ 单位欧姆

电导（Conductance）：$G=\frac{1}{R}$ ，单位西门子

电阻率和电导率

$R=\int \rho\frac{dl}{A}$

$\rho$ 为电阻率，$\sigma=\frac1{\rho}$ 为电导率

电阻率与温度关系

$\rho(T)=\rho_0+\alpha T$

欧姆定律微分形式

\[ i=\frac{\Delta V}R=\iint jdA\\ \Delta V=\int E dl\\ R=\int \rho\frac{dl}A\\ \]

有 $j\Delta A=\frac{E\Delta l}{\rho\frac{\Delta l}{\Delta A}}\\ j=\frac{E}{\rho}=\sigma E$ 每一点都是成立的，更加普适，更香

电功率和焦耳定律¶

电功率，单位 $W$ 瓦特，符号 $P$

定义 $P=\frac W{\Delta t}$

又因为 $W=qV_{AB}=i\Delta tV_{AB}$

所以 $P=iV_{AB}=i^2R=\frac{V^2}{R}$

电流的热效应，短路，保险丝

欧姆定律微观解释¶

当电场强度为 $0$ 时，电子做无规则热运动，当不为 $0$ 时，做漂移运动， Drift move slowly，速度为 $v_d$ ，平均自由程为 $\lambda$ 。

先不做解释，看ppt，懒得手敲

漂移速度¶

\[ j=\frac{\Delta i}{\Delta A}=neu\\ u=\frac j{ne} \]

电动势，电源和非静电力¶

电源（seat）存在电动势（Emf），指非静电力 $K$ ，把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极，所做的功。

$\epsilon=\int_-^+Kdl$ ，在电源内部， $j=\sigma(K+E)$ ，欧姆定律微分形式。

然后电源内部也是有电阻的，所以有路端电压。

路端电压¶

\[ \Delta V=V_+-V_-=\int_+^-Edl\\ \text{in a seat},E=-K+\frac j\sigma\\ \Delta V=V_+-V_-=\int_+^-(-K+\frac j\sigma)dl=\int_-^+Kdl-\int_-^+\rho jdl\cos \theta\\ =\epsilon-jA\int_-^+\rho\frac{dl}{A}=\epsilon-ir \]

高中时，我们是直接等效为一个理想电源和电阻，而这里的计算是利用电源每段的电导率来进行推算（毕竟实际情况是每段都有电导率），最后得到我们确实可以是等效为理想电源加电阻。而理想电源的情况就是 $\sigma $ 无限大。

闭合电路的电流和输出功率¶

\[ V_{AB}=iR,i=\frac\epsilon{R+r}\\ P=iV_{AB}=i^2R=(\frac{\epsilon}{R+r})^2R\\ \frac{dP}{dR}=\epsilon^2\frac{r-R}{(R+r)^2}=0,\text{When } R=r,\text{P reaches max} \]

电阻串联和并联¶

电桥电路¶

用于电话线断了，电缆短路等的检测。

复杂电路¶

多支路，节点，回路。

基尔霍夫方程组¶

第一基尔霍夫方程组（节点电流方程组）

在 $A$ 节点 $-I_1-I_2+I_3=0$ 。$n$ 个节点，可以写出 $n-1$ 个独立方程。注意一定标对正负号，至少电流出去的节点和电流进来的节点符号相反。

第二基尔霍夫方程组（回路电压方程组）

沿回路一圈电压代数和为 $0$ 。注意你可以有支路不去，你只要有一个圈就行了。因为并联电路两端电压相等，挑一个算就可以。

对于有 $n$ 个节点，$p$ 条支路的复杂电路，共有 $p-n+1$ 独立回路，即有 $p-n+1$ 独立方程。就是你想从一个图删成一棵树要删 $m-(n-1)$ 条边的意思。

例题1

例题2

等效电源定理¶

注意下面两张蓝底图片内定理描述的网络都是指有源网络 A 。

等效电压源¶

就是说复杂电路里面带源的那部分可以合起来看成一个电压和一个内阻。

例题

在这个例题中从网络两端看是指从 $A,C$ 两个节点看，把电动势短路就是忽略 $\epsilon_1$ 但是 $r_1$ 还在 ** ，然后从 $AC$ 两点看 $R_1$ 和 $r_1+R_2+R_3$ 是并联**而非从 $\epsilon_1$ 看上去的串联。

注意 $R_1$ 是 AC 那两个节点间的电阻，靠近 $\epsilon_1$ 的那个电阻是 $R3$ 。

等效电流源¶

例题

网络两端还是 AC ，这样的话短路掉 $I_0$ 就是两个回路电流之和。然后内阻就是 $r_2+R_4$ 和 $r_1+R_2+R_3$ 并联。因为在这里我们是把 $A\rightarrow r_1\rightarrow C$ 和 $A\rightarrow r_2\rightarrow C$ 这两条上的电路当成等效电流源，所以我们看内阻的时候不算上 $R_1$ ，而对于 $AC$ 两端来说，这两条路上的电阻是并联的关系。

叠加原理¶

叠加原理：若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该电支路产生的电流之和。

$Y-\Delta$ 电路的等效替代¶

其实感觉初中学而思上过这玩意。就是 $R_1,R_2,R_3$ 这个三角形电路

可以等效为一个 $Y$ 字型电路，计算公式如图。

应该这三角形三个点都要连有电路，不然的话也不需要这样分析，直接并联电路完事。

热电势¶

汤姆逊效应¶

这个看看ppt吧。不知道咋讲。