Chapter 32(33) The Steady Magnetic Field 稳恒磁场¶

基本磁现象¶

$N,S$ 两个磁极，同号相斥，异号相吸。且自然界中不存在独立的 $N$ 极和 $S$ 极，和正电荷可以独立存在不同。对于一个磁铁，无论分多少小都有两极。

近代理论认为可以有单独磁极存在，称为磁单极子，至今未发现。

运动电荷可以通过磁场相互影响。

恒定磁场的高斯定理¶

\[ \oiint B\cdot dA=0 \]

因为磁感应线是闭合曲线，因此穿入闭合曲面的磁感应线数必然等于穿出闭合曲面的磁感应线数，所以通过任意闭合曲面的总磁通量为 $0$ 。

与高斯定理 $\oiint E\cdot dA=\frac{\sum q}{\epsilon_0}$ 但这两者在形式上是不对称的，因为激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾，所以静电场是发散的长，可称作有源场；而磁场磁感应线无头无尾，恒闭合，所以磁场是无源场，所以可以看出这两种本质是不同的场。

Ampere’s Law 安培定律¶

类比两个点电荷之间力的作用，我们同样有两个电流元之间的磁力作用关系。

其中 $ids$ 表示一个电流源。这里的 $ds$ 表示的是电流元长度。

如果 $i_1ds_1$ 和 $i_2ds_2$ 在同一平面，那么对于电流元 $1$ 对电流元 $2$ 的作用力就是该平面上与 $i_2ds_2$ 垂直的方向。电流元 $2$ 对电流元 $1$ 的作用力也是如此。

这并不满足牛顿第三定律。

因为电流元之间的作用力是通过磁场来实现的，就是 $i_1ds_1$ 在电流元处产生个垂直直面的磁场，然后磁场对电流元 $2$ 作用产生作用力。而这个方向和电流元方向和磁场的方向相关。

具体可以看如下式子 $dF=Idl\times B\\ F=i\int Bdx$ 方向用右手螺旋定则确定。注意，电磁都是右手定制，产生力的方向是左手定则。

注意 $\mu_0$ 是个常数，和 $k$ 有关，在 $F=kqq/r^2$ 中我们有常数 $k$ ，这里为了计算方便，我们定义了 $\mu_0$ 含义，与 $k$ 有关，提出来个系数 $\frac 1{4\pi}$ 可以凑出面积。

$k=\frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}N/A^2$

举例 $dF_{12}\ne dF_{21}$

里面的框框是平行。ppt上改不过来。

磁感应强度 $B$¶

根据安培定律，我们有

$dF_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i_2ds_2\times(ids_1\times e_{12})}{r_{12}^2}$

注意：$r$ 上面带着一个上三角标的是表示单位方向向量，大小只能为 $1$ ，这里我用 $e$ 表示避免造成误解。

可以进行类比，

把 $dF_{12}$ 关于 $i_2d_2$ 的部分拿出来，并对$i_1d_1$ 所在的电流进行环路积分，可以发现求出 $1$ 对应的电流环路整体对 $2$ 这个电流元产生的磁场大小，有

所以可以知道 $dF_2=i_2ds_2B_1\sin\theta$ 当 $\theta$ 为 $\frac{\pi}{2}$ 时， $dF_2$ 最大此时式子为 $(dF_2)_{\max}=i_2ds_2B_1$ ，$B_1$ 就是 $\frac{(dF_2)_{max}}{i_2ds_2}$ 。

符号 $T$ 特斯拉，单位 $N/(m\cdot A)$ , $1T=10^4Gauss$ 高斯

毕奥萨伐尔定律¶

即，其中是的单位方向向量 $dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ids\times e}{r^2}$ 不知道表示矢量的上三角标怎么打，分子上的那个 $e$ 是个矢量。

还是右手定则。

还有我们要注意的是电流实际是怎么流的，导体是圆柱还是正方形的柱子还是啥在近似计算的时候都不重要，只要电流是直着流的，你就套长直线电流产生磁场的公式因为我们各种模型实际上是假设电流是怎么流的推导出来的。你圆柱体的长直线电流可以近似计算为在圆柱中央的直电流。

一段长直线电流产生的磁场¶

当 $r_0<<L$ 时，就可以用不含 $\theta$ 的式子替代，那么$B$ 与 $r$ 成反比。

一段圆环产生的磁场¶

所以有当 $r_0=0$ 时， $B=\frac{\mu_0 i}{2R}$ ，当 $r_0>>R$ 时， $B=\frac{\mu_0iR^2}{2r_0^3}$ 。

计算 $N$ 圈带电圆环的磁偶极矩 $\mu$ （magnetic dipole moment）

$B=\frac{\mu_0iR^2}{2r_0^3}=\frac{\mu_0i\pi R^2}{2\pi r_0^3}=\frac{\mu_0iA}{2\pi r_0^3}$

定义磁偶极矩 $\mu=iA=i\pi R^2$

则 $B=\frac{\mu_0\mu}{2\pi r_0^3}$

当有 $N$ 层时， $\mu=Ni\pi R^2$ 。 $\mu$ 的方向是 $A$ 的法线方向。

氢原子的波尔模型¶

就是在外面运动的电子形成电流，然后对中心的正电荷产生磁场。

电流的大小就是 $\frac{q}{T}=qf$ ，因为这里的 $T$ 就是电子转一周需要的时间，然后电流的定义是 $\Delta Q/\Delta T$ 。转一周移动了 $q$ 个电荷，需要时间 $T$ 。

螺旋管的磁场（solenoid）¶

单层螺线管¶

上图是考虑整个螺线管对其内部中轴上一点产生的磁场大小。做法是 $dl$ 长度内的所有圆环对该点产生的磁场进行积分。而我们在上一节中刚好求过圆环对中轴某一点磁场强度的计算。

下面是最终结果。

多层螺线管¶

就是那上面那个积分一下就可以了，及时从 $R=R_l$ 一直积到 $R=R_r$ 。

磁场中的高斯定理和安培环路定理¶

类比电场中的高斯定理和环路定理 $\oiint E\cdot dA=\frac{\sum q}{\epsilon_0}\\ \oint E\cdot dl=0$ 对磁场有 $\oiint B\cdot dA=0\\ \oint B\cdot dl=\mu_0\sum_{in\,\text{loop}} i$ 高斯定理就是对于闭合曲面，磁通量总和为 $0$ 。

这里定义下磁通量 $\Phi_B=\iint B\cdot dA=\iint B \cos \theta dA$ 还是那句话，哪个是矢量啥的自己看，以后有时间在修改。

单位为，即 $B=\lim_{A\rightarrow 0}\frac{\Delta\Phi_B}{A}$ 磁场安培环路定律

这里正负还是好定义的，有右手螺旋就可以了。

理解上，你看一个长直导线对半径为 $r$ 的圆处处产生磁场为 $\frac{\mu_0i}{2\pi r_0}$ ，若是乘上个一周，就是 $\mu_0i$ 。因为环路定理计算所以相对于环，那导线都可以算是无限长。

这里只要管电流进出就可以了，不用管电流是斜着流进来还是垂直流入。只要看你框住多少电流就可以了。要注意的是你斜着流进来很多电流，你斜着拿环路框可能是框不住所有电流，真正框住了多少电流要拿电流密度乘上投影面积。

在长导线内的磁场¶

$i_0$ 为导线内总电流， $R$ 为导线半径，$B$ 为半径为 $r$ 的环上磁场强度。

内部 $\oint Bdl=B\cdot 2\pi r=\mu_0 i=\mu_0jS=\mu_0\frac{i_0}{\pi R^2}\pi r^2\\ B=\frac{\mu_0i_0r}{2\pi R^2}$

外部 $B=\frac{\mu_0i_0}{2\pi r}$

无限大平面内一排导线的磁场¶

无限长通电螺线管内部磁场¶

就是按一条直径切分，左右两边是方向相反的一排通电导线，就是上面的值乘两倍。 $B=\mu_0ni$

N圈螺线环¶

根据安培定律，有 $\oint B\cdot dl=\mu_0 N i\\ B=\frac{\mu_0 Ni}{2\pi r}$

带电导线受到的安培力¶

\[ dF=ids\times B \]

所以你 $ds$ 求和就是从电流起始点到电流终点的位移，所以这个长度就是起点和终点之间的长度。

就是满足 $ids_1\times B+ids_2\times B+\cdots +ids_n\times B=i(ds_1+ds_2+\cdots +ds_n)\times B=ids\times B$

两平行导线¶

假设电流方向同向，有其中一根导线在 $r_0$ 处产生磁场为 $B=\frac{\mu_0i_1}{2\pi r_0}$ ，而两根导线之间距离为 $d$ ，所以实际就是 $\frac{\mu_0i_1}{2\pi d}$ 。

然后产生的力为 $dF=i_2ds\times B=i_2ds\times \frac{\mu_0i_1}{2\pi d}=i_1i_2\frac{\mu_0}{2\pi d}ds_2$

$f=\frac{dF_{12}}{ds_2}=\frac{\mu_0i_1i_2}{2\pi d}$

闭合回路电流再磁场中产生力矩¶

注意力矩都是使线圈顺时针转动的所以是叠加。

然后 $\tau=\mu\times B$ 是通用的，其中 $\mu=iAn$ ，$n$ 位法向量单位向量。

对任意形状都成立的证明¶

磁偶极矩¶

我们知道。然后磁场做功为 $U=-\int F(rd\theta)=-\int \tau d\theta=\int\mu B\sin \theta d \theta=\mu\cdot B$ 有 $\theta=0$ 那么 $U=0$ 。

所以我们有 $U=-\mu\cdot B$

回顾电偶极矩 $p=qd,\tau=p\times E$ 有 $U=-p\cdot E$

所以我们可以定义以下内容

磁偶极矩的势能¶

电荷在磁场中的运动¶

\[ F=qv\times B=qvB\sin \theta \]

洛伦茨力和安培力的关系 $\Delta q=enA\cdot u\Delta t\\ i=\frac{\Delta q}{\Delta t}=nAue\\ F=\int e(nAu\Delta t)u\times B=\int neAu \Delta s\times B=\int i\Delta s\times B=Bis$

$v\perp B$ 做圆周运动¶

\[ F=qv\times B\\ qvB=mv^2/R,R=\frac{mv}{Bq}\\ T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi m}{qB}\\ f=\frac{1}{T}=\frac{qB}{2\pi m} \]

不垂直的case¶

质谱仪和速度选择器¶

回旋加速器¶

相对论效应¶

霍尔效应¶

注意¶

角频率就是角速度。

即 $\omega$ 就是 frequency of revolution， $\omega/2\pi$ 是转速，跟频率没关系。

你固定体电荷密度就没有电荷平衡这回事了，你电荷都动不了哪来平衡。

注意没有厚度的无限大和有厚度的无限大平面做法不同的啦！